Tirando sarro de Paradoxos, Parte 2: Medindo na Relatividade

Desculpem a demora em publicar a segunda parte da nossa odisséia, mas é que sofri um pequeno "acidente de cozinha", mas nada grave. Na postagem anterior, falei um pouco sobre como fazemos para medir distâncias, utilizando a geometria euclidiana (Ver. Parte 1: Geometria Euclidiana). Quando Einstein teve a idéia genial que revolucionou a nosso maneira de pensar a passagem do tempo, e como percebemos o espaço, também nos fez o favor de modificar a maneira como fazemos as medidas.

Na geometria euclidiana, bastavam três coordenadas para localizar um ponto. Se você me dissesse "eu tenho uma máquina de lavar de 1,5m de altura, 0,9 metros de largura e 1,0 metros de profundidade", além de ficar perplexo sobre como você é obscecado por máquinas de lavar, também saberia caracterizar por completo as dimensões do objeto, pois o espaço euclidiano é, de fato, tridimensional.
Para a relatividade, no entanto, as coisas ficam um pouco diferentes. Espaço e tempo se unem formando o "espaço-tempo" (criativo), que é, antes de tudo, quadridimensional: possui as três dimensões normais do espaço, e uma extra para o tempo. Assim, você pode localizar um objeto determinando seu lugar e seu tempo, seu instante.
Se você pensar em uma versão simplificada do espaço-tempo, bidimensional, com uma dimensão no espaço e a extra do tempo, você consegue plotar o movimento de um objeto em um gráfico.

Este gráfico é, a grosso modo, um "espaço-tempo bidimensional". Se você pensar bem, vai perceber que, no espaço-tempo, o objeto adquire naturalmente uma dimensão a mais. Se ele era um ponto no espaço euclidiano, no espaço-tempo ele é uma curva, onde cada ponto dela representa a posição desse objeto em um tempo diferente.

De acordo com a relatividade especial, o "comprimento" dessa curva é medido assim:

-s² = -t² + x² + y² + z² 

Essa "distância" é o que chamamos, com a boca cheia, de tempo próprio. Basicamente, é o tempo medido por um relógio se movendo ao longo da curva, junto ao objeto.
Agora a parte legal: assim como, no espaço euclidiano, a forma como você escolhe seus eixos x, y e z não afeta a medição do comprimento, o tempo próprio não depende de como você encolhe os seus 4 eixos no espaço-tempo. Você pode rotacionar os eixos espaciais à vontade, como também brincar com o eixo do tempo. Isso é o que chamamos simpaticamente de Tranformação de Lorentz. Mas, sob essas transformações você não consegue "girar" o bastante para mudar os sinais da expressão acima. Pela figura, fica claro de que o tempo medido pelo relógio depende de qual caminho ele seguiu entre o primeiro ponto e o último, já que o comprimento da curva, então, varia.
Falar de "simultaneidade" torna-se confuso quando se está aprendendo relatividade, principalmente pelo fato de que ela deixa de existir. Mas isso deve ficar claro pela figura: Se você gira uma foto colocada em sua mesa, pontos que estavam alinhados com a beirada deixam de estar. Da mesma forma, se você gira o espaço-tempo da forma que discutimos acima (através de uma Transformação de Lorentz), pontos que estavam no mesmo tempo deixam de estar.
Fica aqui a lição de hoje. Semana que vem vamos discutir os paradoxos que foram propostos e são facilmente resolvidos usando algumas dessas idéias.
Até a próxima.